Giả sử số lượng của một quần thể vi sinh vật tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm (phụ thuộc vào thời gian…

Phương pháp giải:

Có P(0) = 20, tính $a$. Thay giá trị $t$ để tính $P(t).$

Tính giới hạn tại vô cùng của hàm $P(t).$

Giải bất phương trình $P(t) \gt 90.$

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có $P(t) = \frac{{25}}{{a + {e^{ - 0.8t}}}}$, và $P(0) = 20$ nên $\frac{{25}}{{a + {e^{ - 0,8.0}}}} = 20 \Leftrightarrow a = \frac{{25}}{{20}} - 1 = 0,25$

b) Sai. Sau 2 giờ, số vi sinh vật là $P(2) = \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.2}}}} \approx 55,3$

c) Đúng. Ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.t}}}}$.

Khi $t \to {\rm{\;}} + \infty$ thì ${e^{ - 0,8t}} \to 0$, nên $\mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {\rm{\;}} + \infty } \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0,8.t}}}} = \frac{{25}}{{0,25}} = 100$

Vậy số lượng vi khuẩn trong quần thể không lớn hơn 100.

d) Sai. Ta có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{P(t) = \frac{{25}}{{0,25 + {e^{ - 0.8t}}}} \gt 90 \Leftrightarrow {e^{ - 0,8.t}} \lt \frac{{25}}{{90}} - 0,25}\\{ \Leftrightarrow {e^{ - 0,8.t}} \lt \frac{1}{{36}} \Leftrightarrow t \gt 4,48}\end{array}$

Để số lượng vi sinh vật trong quần thể lớn hơn 90 thì cần nuôi cấy ít nhất 4,48 giờ.