Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, AC, BD, AD, BC, MN.

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm vecto cùng phương, cùng hướng, cách xác định độ dài vecto, tính chất trung điểm.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $\overrightarrow {MR} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$, $\overrightarrow {SN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$ suy ra $\overrightarrow {MR} = \overrightarrow {SN}$.

b) Đúng. Ta có:

M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM}$.

N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN}$.

G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GN} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0$.

c) Sai. Ta có:

Q là trung điểm của BD nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AQ} \Leftrightarrow \overrightarrow {AQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

P là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Từ đó ta có $2\overrightarrow {PQ} = 2\left( {\overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AP} } \right) = 2\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$.

d) Đúng. Ta có:

$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = 2.2\overrightarrow {IG} = 4\overrightarrow {IG}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right| = \left| {4\overrightarrow {IG} } \right| = 4IG$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right|$ nhỏ nhất khi IG = 0, tức I trùng G.