Cho tứ diện ABCD có điểm G là trọng tâm tam giác ABD và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC.

Phương pháp giải:

Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AD. Khi đó BI là đường trung tuyến tam giác ABD.

Suy ra $\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{2}{3}$.

Vì MB = 2MC suy ra $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác BCI có $\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}$ suy ra MG//CI (định lí Thales đảo).

Mà $MG\not{ \subset }(ACD)$, $CI \subset (ACD)$ nên MG//(ACD).

a) Sai. Có MG//(ACD) mà $AC \subset (ACD)$ nên MG không cắt AC.

b) Sai. MG và AB là hai đường thẳng chéo nhau.

c) Đúng. MG//(ACD).

d) Sai. Ta có:

Vì $\left\{ \begin{array}{l}C \in BM \subset (BMG)\\C \in (ACD)\end{array} \right.$ nên $C \in (BGM) \cap (ACD)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}I \in BG \subset (BMG)\\I \in AD \subset (ACD)\end{array} \right.$ nên $I \in (BGM) \cap (ACD)$.

Vậy $(BGM) \cap (ACD) = CI$.