Cho tam giác $MNP,$ hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O.$ Tính diện tích tam giác $MNP,$ biết diện tích…

Phương pháp giải:

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tìm mối liên hệ giữa các cạnh.

+) Áp dụng công thức tính diện tích của một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Gọi $MH$ là đường cao kẻ từ $M$ xuống cạnh $NP,NK$ là đường cao kẻ từ $N$ xuống cạnh $ME.$

Hai đường trung tuyến $ME$ và $NF$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm tam giác $MNP,$ do đó $MO = \dfrac{2}{3}ME$.

Có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NP$ nên $E$ là trung điểm của $NP,$ suy ra $NP = 2.NE$

Ta có:

$\dfrac{{{S_{MNO}}}}{{{S_{MNE}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.MO}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.NK.\dfrac{2}{3}.ME}}{{\dfrac{1}{2}.NK.ME}} = \dfrac{2}{3}$

Suy ra ${S_{MNO}} = \dfrac{2}{3}{S_{MNE}}$

$\dfrac{{{S_{MNE}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.NP}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.MH.NE}}{{\dfrac{1}{2}.MH.2.NE}} = \dfrac{1}{2}$

suy ra ${S_{MNE}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}}$

Do đó ${S_{MNP}} = 2.{S_{MNE}} = 3.{S_{MNO}}$

suy ra ${S_{MNP}} = 3.12 = 36\,c{m^2}$