Cho tam giác $ABC$ có $\widehat C \gt \widehat B$ ( $\widehat B,\,\widehat C$ là các góc nhọn). Vẽ phân giác $AD.$ So…

Phương pháp giải:

+ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AC = AE.$

+ So sánh $CD$ với $DE$ bằng cách sử dụng hai tam giác bằng nhau

+ So sánh $DE$ với $BC$ theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

+ Từ đó so sánh $CD$ và $BD.$

Lời giải chi tiết:

Từ đề bài $\widehat C \gt \widehat B \Rightarrow AB \gt AC.$ Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AC = AE.$

Xét tam giác $ACD$ và tam giác $AED$ có

+ $AC = AE$

+ $\widehat {CAD} = \widehat {DAB}$ (tính chất tia phân giác)

+ Cạnh $AD$ chung

Suy ra $\Delta ACD = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow DE = CD\,\,\left( 1 \right)$ và $\widehat {AED} = \widehat {ACD}$

Mà $\widehat {ACD}$ là góc nhọn nên $\widehat {AED}$ là góc nhọn, suy ra $\widehat {BED} = 180^\circ - \widehat {AED}$ là góc tù, do đó $\widehat {BED} \gt \widehat {EBD}$

Xét tam giác $BED$ có $\widehat {BED} \gt \widehat {EBD}$ suy ra $BD \gt DE\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ suy ra $DC \lt BD.$