Cho tam giác $ABC$ có: $\widehat B = 2\widehat C,$ các đường phân giác của góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $I.$ Chọn câu…

Phương pháp giải:

+ Kẻ $ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB$

+ Sử dụng tính chất ba đường phân giác của tam giác, chứng minh $AI$ là phân giác của $\widehat {BAC}$

+ Chứng minh $BF = BD;$ $AF = AE;CE = CD$

+ Trên đoạn $DC$ lấy điểm $G$ sao cho $BD = DG$, chứng minh $IB = IG$

+ Chứng minh $IG//AC$

+ Chứng minh $IG = GC$

+ Từ các điều trên ta tính được $AC$.

Lời giải chi tiết:

Kẻ $ID \bot BC;IE \bot AC;IF \bot AB$

Tam giác $ABC$ có các đường phân giác của góc $\widehat {ABC}$ và $\widehat {ACB}$ cắt nhau tại $I$ nên $AI$ là phân giác của $\widehat {BAC}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì $BI$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta BFI$ vuông tại $F$ và $\Delta BDI$ vuông tại $D$ có:

$\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (cmt)

$BI$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BFI = \Delta BDI$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow BF = BD$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $AF = AE;CE = CD$.

Trên đoạn $DC$ lấy điểm $G$ sao cho $BD = DG$.

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D$ và $\Delta GDI$ vuông tại $D$ có:

$BD = DG$ (theo cách vẽ)

$DI$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BDI = \Delta GDI$ (hai cạnh góc vuông) $\Rightarrow IB = IG$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta IBG$ là tam giác cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {IGB}$ (tính chất tam giác cân) $(1)$

Ta có: $\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {ACB} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \widehat {{B_1}}$ $(2)$

Từ $(1)$; $(2)$ suy ra: $\Rightarrow \widehat {IGB} = \widehat {ACB}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $IG//AC$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó $\widehat {{C_2}} = \widehat {GIC}$ (hai góc so le trong)

Mặt khác: $\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}$ (do $CI$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$)

$\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {GIC} \Rightarrow \Delta GIC$ cân tại $G$ $\Rightarrow IG = GC$ (định nghĩa tam giác cân)

Ta có: $AC = AE + CE$

$\begin{array}{l} = AF + CD\\ = AF + DG + GC\\ = AF + BD + IG\\ = AF + BF + IB\\ = AB + IB\end{array}$