Cho tam giác $ABC$ có $\widehat A = 120^\circ .$ Trên tia phân giác của góc $A$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB + AC.$…

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Lời giải chi tiết:

Lấy $E \in AD$ sao cho $AE = AB$ mà $AD = AB + AC$ nên $AC = DE.$

$\Delta ABE$ cân có $\widehat {BAD} = 60^\circ$ nên $\Delta ABE$ là tam giác đều suy ra $AE = EB.$

Thấy $\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ$ (góc ngoài tại đỉnh $E$ của tam giác $ABE$ ) nên $\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)$

Suy ra $\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) và $BD = BC$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ$ nên $\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .$

$\Delta BCD$ cân tại $B$ có $\widehat {CBD} = 60^\circ$ nên nó là tam giác đều.