Cho một bể chứa nước và ban đầu chưa có nước. Người ta bắt đầu bơm nước vào bể với lưu lượng là $L_{1}(t) = 6t + 3$…

Phương pháp giải:

b) Tính $\int\limits_0^5 {{L_1}(t)dt}$.

c) Tính $\int\limits_0^5 {{L_2}(t)dt}$.

a) Tính $\int\limits_0^{30} {\left[ {{L_1}(t) - {L_2}(t)} \right]dt}$.

d) Tìm ${t_0}$ sao cho $\int\limits_0^{{t_0}} {\left[ {{L_1}(t) - {L_2}(t)} \right]dt} = 2015$. Tính $\int\limits_0^{{t_0}} {{L_2}(t)dt}$.

Lời giải chi tiết:

b) Đúng. Thể tích nước được bơm vào bể trong 5 phút đầu tiên là:

$\int\limits_0^5 {{L_1}(t)dt} = \int\limits_0^5 {(6t + 3)dt} = 90$ (lít).

c) Sai. Thể tích nước chảy ra từ bể trong 5 phút đầu tiên là:

$\int\limits_0^5 {{L_2}(t)dt} = \int\limits_0^5 {2tdt} = 25$ (lít).

a) Đúng. Thể tích nước trong bể sau 30 phút là:

$\int\limits_0^{30} {\left[ {{L_1}(t) - {L_2}(t)} \right]dt} = \int\limits_0^{30} {(6t + 3 - 2t)dt}$

$= \int\limits_0^{30} {(4t + 3)dt} = 1890$ (lít).

Vậy sau 30 phút bơm thì nước chưa đầy bể vì 1890 < 2015.

d) Đúng. Nước đầy bể thì $\int\limits_0^t {\left[ {{L_1}(t) - {L_2}(t)} \right]dt} = 2015$

$\Leftrightarrow \int\limits_0^t {(4t + 3)dt} = 2015 \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t = 2015$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 31\\t = - \frac{{65}}{2}\end{array} \right.$. Vì t > 0 nên ta nhận nghiệm t = 31.

Vậy nước bơm sau 31 phút thì đầy bể. Lượng nước đã chảy ra ngoài là:

$\int\limits_0^{31} {{L_2}(t)dt} = \int\limits_0^{31} {2tdt} = 961$ (lít) > 900 (lít).