Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, $\widehat {ACB} = {120^o}$ có thể tích V. Gọi M là trung điểm của BB’.

Phương pháp giải:

a) Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ và công thức tính thể tích lăng trụ $V = Bh$.

c) Dựa vào tỉ lệ độ dài giữa đoạn MB và BB’.

d) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng rồi tính khoảng cách giữa điểm đó và hình chiếu.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CC'\\BC \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow [a;CC';B] = (AC,BC) = \widehat {ACB} = {120^o}$.

b) Đúng. ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC.\sin \widehat {ACB} = \frac{1}{2}a.2a.\sin {120^o} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

$V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.2a = {a^3}\sqrt 3$.

c) Đúng. ${V_{MABC}} = \frac{1}{3}MB.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AA'.{S_{ABC}} = \frac{1}{6}V$.

d) Đúng. Gọi H là đường cao của tam giác ABC.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot (AA'B'B) \Rightarrow d(C,(ABB'A')) = CH$.

$AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat {ACB}} = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2} - 2.a.2a.\cos {{120}^o}} = a\sqrt 7$.

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB \Leftrightarrow \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2}CH.a\sqrt 7 \Leftrightarrow CH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Vì CC’ // (ABB’A”) nên $d(C',(ABB'A')) = d(C,(ABB'A')) = CH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.