Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2a. Gọi O là tâm của hình vuông BCC'B' và G là trọng tâm tam giác ADC.

Phương pháp giải:

Trong không gian, cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$. Khi đó, $\widehat {AOB}$ $\left( {{0^o} \lt \widehat {AOB} \lt {{180}^o}} \right)$ được gọi là góc giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Để tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong không gian, ta áp dụng công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Vì $\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} = BD.BC.\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 2a\sqrt 2 .2a.\cos 45^\circ = 4{a^2}$.

b) Đúng. Vì $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$ nên ta có $\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD'}$ theo quy tắc hình hộp.

c) Đúng. Gọi $I = AC \cap BD$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ADC$ nên $DG = \frac{2}{3}DI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}DB = \frac{1}{3}DB \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BD$.

Ta có $\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {BO} - \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC'} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD'} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$.

d) Sai. Ta thấy $\overrightarrow {DA'} = \overrightarrow {CB'}$ nên góc $\left( {\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB'}$.

Vì $AC,\,\,B'C,\,\,AB'$ là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên $AC = B'C = AB'$

$\Rightarrow \Delta ACB'$ đều $\Rightarrow \widehat {ACB'} = 60^\circ$. Vậy $\left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ - \widehat {ACB'} = 120^\circ$.