Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 12cm. Vẽ BH vuông góc với AC tại H. Tia BH cắt đường thẳng DC tại K và cắt AD…

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B để tính AC.

b) Chứng minh suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {ACB}$ nên $\sin ABH = \sin ACB$.

c) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc ABN và góc CKH.

d) Biểu diễn $\cot BAC$ và $\cot BCA$ theo các cạnh.

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\left( {cm} \right)$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Xét tam giác AHB và tam giác ABC, ta có:

$\widehat H = \widehat N\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat A$ chung

Suy ra (g.g)

Do đó $\widehat {ABH} = \widehat {ACB}$ (hai góc tương ứng)

Vì vậy $\sin ABH = \sin ACB$.

Mà $\sin ACB = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}$ nên $\sin ABH = \frac{5}{{13}}$.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông ABN, ta có: $\tan ABN = \frac{{AN}}{{AB}}$

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông CHK, ta có: $\tan HKC = \frac{{CH}}{{HK}}$

Mà $\widehat {ABN} = \widehat {HKC}$ (hai góc so le trong) nên $\tan ABN = \tan HKC$.
Do đó $\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{HK}}$ nên $AN.HK = AB.CH$

Vì $HK \lt CK$ ($CK$ là cạnh huyền của tam giác vuông CHK) nên $AN.CK \gt AN.HK = AB.CH$.

Vậy khẳng định c) sai.

d) $\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AB}}{{BH}}$

Áp dụng tỉ số lượng giác, ta có:

$\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AH}}{{BH}} + \frac{{HC}}{{BH}} \\= \frac{{AH + HC}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{BH}} \gt \frac{{AB}}{{BH}}.$

Vậy khẳng định d) sai.

Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) S.