Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC. Tính thể…

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC đều.

Khi đó SO là chiều cao của hình chóp SABC đồng thời là chiều cao của hình chóp S.ABI

$AO = \frac{2}{3}.AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{3})}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}$

Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác bằng: ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

${V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$

$\frac{{{V_{ABI}}}}{{{V_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{ABI}}.SO}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO}} = \frac{{{S_{ABI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AI.BI}}{{\frac{1}{2}.AI.BA}} = \frac{{BI}}{{BA}} = \frac{1}{2} = \gt {V_{ABI}} = \frac{1}{2}{V_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$