Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD)$ , $SA = 2a\sqrt{3}$ , ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Khi đó:

Phương pháp giải:

Áp dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hình chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

c) Đúng. $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB$.

b) Đúng. $\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAC)$.

d) Đúng. H là hình chiếu của A lên SB, do đó $AH \bot SB$ (1)

Ta có $\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB)\\AH \subset (SAB)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot BC$.

a) Sai. Vì $\left. \begin{array}{l}AH \bot (SBC)\\H \in (SBC)\end{array} \right\} \Rightarrow H$ là hình chiếu của A lên (SBC).

Suy ra HC là hình chiếu của AC lên (SBC).

Ta có $\left( {AC,(SBC)} \right) = \left( {AC,HC} \right) = \widehat {ACH}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 3$.

$AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot HC \Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại H. Ta có:

$\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{{2\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \widehat {ACH} \approx {38^o}$.