Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = 2a, AD = a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc…

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, quy tắc xác định góc nhị diện.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $\left\{ \begin{array}{l}(SAB) \bot (ABCD)\\(SAB) \cap (ABCD) = AB\\SH \bot AB\,,\,SH \subset (SAB)\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow SH \bot (ABCD)$.

b) Sai. Hình chiếu của SC lên (ABCD) là HC nên góc $\widehat {SCH}$ là góc giữa SC và (ABCD).

c) Đúng. Vì $(SAB) \bot (ABC)$ nên số đo của góc phẳng góc nhị diện [S,AB,C] bằng ${90^o}$.

d) Sai. Ta có: $CD \bot HK$ (3).

Mặt khác $SH \bot (ABCD)$ nên $CD \bot SH$.

Suy ra $CD \bot (SHK) \Rightarrow CD \bot SK$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {SKH}$ là góc phẳng nhị diện $[S,CD,A]$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh 2a nên đường cao $SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Mà HK = BC = a (tính chất đường trung bình của hình chữ nhật).

Do đó $\tan \widehat {SKH} = \frac{{SH}}{{HK}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SKH} = {60^o}$.