Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD // BC, AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD,…

Phương pháp giải:

Vẽ hình.

Xét điểm A, M có thuộc mặt phẳng (SAC) không.

Xét hai điểm S, O cùng thuộc mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) không

Gọi giao điểm của AM và SO là I, chứng minh $I \in (SBD)$.

Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử $\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}$ rồi chứng minh điều đó vô lí.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $M \in SC$ nên $M \in (SAC)$, lại có $A \in (SAC)$ nên AM nằm trong mặt phẳng (SAC).

b) Đúng. Ta có $O \in AC$ nên $O \in (SAC)$; $O \in BD$ nên $O \in (SBD)$. Do đó O thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Mà S cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

c) Đúng. Theo chứng minh ở các phần trên, SO và MA cùng thuộc mặt phẳng (SAC), hai đường thẳng đó không song song với nhau nên gọi giao điểm của chúng là I.

Khi đó, $I \in AM$ (1).

Vì $I \in SO$, mà $SO \subset (SBD)$ nên $I \in (SBD)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra I là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD), đồng thời là giao điểm của SO và MA.

d) Sai. Vì AD // BC nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có:

$\frac{{CO}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}$ (vì AD = 2BC theo giả thiết).

Suy ra $\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3}$, tức O không phải trung điểm của AC.

Gọi giao điểm của $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ và SD là Q. Khi đó, PQ là giao tuyến của $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ và (SBD).

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{(\alpha )//BD}\\\begin{array}{l}BD \subset (SBD)\\(SBD) \cap (\alpha ) = PQ\end{array}\end{array}} \right.$ suy ra BD // PQ (3).

Vì $I \in AM$ và $AM \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ nên $I \in \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$, mà $I \in (SBD)$ nên I thuộc giao tuyến của $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ và (SBD), hay $I \in PQ$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra PI // BO.

Giả sử $\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}$.

Vì PI // BO nên theo định lí Thales ta có: $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}$.

Vì M là trung điểm của SC suy ra AM là đường trung tuyến của $\Delta SAC$.

Mặt khác, $I \in AM$ và $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}$ nên I là trọng tâm $\Delta SAC$.

Do đó, SO là đường trung tuyến của $\Delta SAC$, hay O là trung điểm của AC (vô lí).

Vậy $\frac{{SP}}{{SB}} \ne \frac{2}{3}$.