Cho hàm số $y = \frac{x^2 + x + 7}{x + 2}$ .

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính đạo hàm.

b) Ứng dụng đạo hàm, lập BBT hoặc dựa vào đặc điểm nhận dạng của đồ thị để xác định điểm cực trị.

c) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị.

d) Gọi các điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (x; y). Biểu diễn y theo x. Tìm điều kiện để x, y nguyên.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $y' = \frac{{(2x + 1)(x + 2) - ({x^2} + x + 7)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

b) Đúng. $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.$.

Ta có y(1) = 3 và y(-5) = -9, như vậy được hai điểm A(-5; -9) và B(1; 3).

Vì hệ số của ${x^2}$ và hệ số của $x$ ở mẫu cùng dấu nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

c) Đúng. $y = \frac{{{x^2} + x + 7}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{9}{{x + 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{9}{{x + 2}} = 0$ nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Sai. Các điểm có tọa độ (x; y) (với x, y là các số nguyên) thuộc đồ thị khi và chỉ khi $x \in \mathbb{Z}$ và $\frac{9}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}$, hay (x + 2) là các ước nguyên của 9, hay $x \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9\}$.

Do đó đồ thị hàm số đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên.