Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có đồ thị $\left(C\right)$ . Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $\left(C\right)$ .

Phương pháp giải:

a) Xét dấu y’.

b) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

c) Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại $x = {x_0}$ là: $y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$.

d) Sử dụng kiến thức về đường phân giác và tam giác đều để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} \gt 0$ $\forall x \ne - 2$.

Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$. Cách viết $\mathbb{R}\backslash \{ - 2\}$ là sai.

b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của hai tiệm cận.

(C) có tiệm cận ngang là y = 1, tiệm cận đứng là x = -2. Vậy I(-2; 1).

c) Đúng. Đặt $y = f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$. Ta có: $f'(1) = \frac{1}{3}$; $f(1) = 0$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 1 là: $y = \frac{1}{3}(x - 1) + 0 \Leftrightarrow y= \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.

d) Đúng. Để tam giác ABI đều, I là tâm đối xứng thì A và B phải đối xứng nhau qua một trong hai đường phân giác ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Các đường tiệm cận song song với trục hai trục tọa độ nên góc tạo bởi lần lượt hai đường thẳng ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ với trục Ox là ${45^o}$ và ${135^o}$, do đó hệ số góc của ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ lần lượt là ${k_1} = \tan {45^o} = 1$ và ${k_2} = \tan {135^o} = - 1$.

${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ đi qua I(-2; 1) nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:1 = 1.( - 2) + {c_1}\\{\Delta _2}:1 = - 1.( - 2) + {c_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 3\\{c_2} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:y = x + 3\\{\Delta _2}:y = - x - 1\end{array} \right.$.

Ta có ${\Delta _2}$ cắt (C) nên A, B đối xứng qua ${\Delta _2}$.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường phân giác d. Trong tam giác đều ABI, góc giữa đường thẳng IA và đường phân giác d phải là ${30^o}$.

Sử dụng công thức cosin góc giữa đường thẳng IA và d: $\cos {30^o} = \frac{{\left| {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {IA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}$.

${\Delta _2}$ có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = (1; - 1)$.

Vì A thuộc (C) nên $A\left( {{x_A};\frac{{{x_A} - 1}}{{{x_A} + 2}}} \right)$; $\overrightarrow {IA} = \left( {{x_A} + 2;\frac{{{x_A} - 1}}{{{x_A} + 2}} - 1} \right) = \left( {{x_A} + 2;\frac{{ - 3}}{{{x_A} + 2}}} \right)$.

Đặt $t = {x_A} + 2 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {t;\frac{{ - 3}}{t}} \right)$.

Suy ra $\cos {30^o} = \frac{{\left| {t.1 + \left( { - \frac{3}{t}} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} .\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {t + \frac{3}{t}} \right|}}{{\sqrt {2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)} }}$.

Bình phương hai vế: $\frac{3}{4} = \frac{{{{\left( {t + \frac{3}{t}} \right)}^2}}}{{2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \frac{{{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}} + 6}}{{2\left( {{t^2} + \frac{9}{{{t^2}}}} \right)}}$.

Đặt $u = {t^2} + \frac{9}{{{t^2}}} = {t^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{t}} \right)^2} = I{A^2}$. Ta có phương trình:

$\frac{3}{4} = \frac{{u + 6}}{{2u}} \Rightarrow 6u = 4u + 24 \Rightarrow 2u = 24 \Rightarrow u = 12$.

Vậy $I{A^2} = 12$. Vì tam giác ABI đều nên cạnh $AB = IA = \sqrt {12} = 2\sqrt 3$.