Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là đường cong (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc hai nhánh và AB đi…

Phương pháp giải:

a) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang.

b) Xét dấu đạo hàm y’.

c) Từ đường thẳng d, tìm được hệ số góc của tiếp tuyến, từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.

d) Khi AB ngắn nhất, I là trung điểm của AB.

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là x = 1 và đường tiệm cận ngang là y = 1 nên tâm đối xứng là I(1;1).

b) Đúng. Ta có $y' = - \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} \lt 0$, $\forall x \ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;1)$.

c) Đúng. Giả sử $M({x_0};{y_0})$ là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = - 2x - 1$ nên hệ số góc là k = -2.

Khi đó $y'({x_0}) = - 2 \Leftrightarrow - \frac{2}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M(0; - 1)\\M(2;3)\end{array} \right.$.

+ Phương trình tiếp tuyến tại M(0;-1) là y = -2x – 1 (loại vì trùng với d).

+ Phương trình tiếp tuyến tại M(2;3) là y = -2(x – 2) + 3 hay y = -2x + 7 (thỏa mãn).

d) Sai. Ta có $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}$.

Khi đó $A\left( {{x_A};1 + \frac{2}{{{x_A} - 1}}} \right)$, $B\left( {{x_B};1 + \frac{2}{{{x_B} - 1}}} \right)$.

Khi AB ngắn nhất, I là trung điểm của AB. Do đó:

$\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = {x_I} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2{x_I} \Leftrightarrow {x_B} = 2{x_I} - {x_A} = 2.1 - {x_A} = 2 - {x_A}$.

Ta có $AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2}}$

$= \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{\left( {1 + \frac{2}{{{x_B} - 1}} - 1 - \frac{2}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{(2 - {x_A} - {x_A})}^2} + {{\left( {\frac{2}{{2 - {x_A} - 1}} - \frac{2}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{(2 - 2{x_A})}^2} + {{\left( {\frac{2}{{1 - {x_A}}} - \frac{2}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left[ {2(1 - {x_A})} \right]}^2} + {{\left( {\frac{2}{{1 - {x_A}}} + \frac{2}{{1 - {x_A}}}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {4{{(1 - {x_A})}^2} + {{\left( {\frac{4}{{1 - {x_A}}}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {4{{(1 - {x_A})}^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {1 - {x_A}} \right)}^2}}}}$.

Ta có $4{(1 - {x_A})^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {1 - {x_A}} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {4{{(1 - {x_A})}^2}.\frac{{16}}{{{{\left( {1 - {x_A}} \right)}^2}}}} = 2\sqrt {4.16} = 16$.

Do đó $AB \ge \sqrt {16} = 4$.