Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \dfrac{1}{x - 2}$ có đồ thị (C).

Phương pháp giải:

a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

b) Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

c) Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

d) Thay tọa độ điểm A vào hàm số, nếu thỏa mãn thì A thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Hàm số xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

b) Sai. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x + 1.

c) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

Tung độ giao điểm của hai tiệm cận là y = 2 + 1 = 3. Vậy tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đúng. Ta có $y(1) = 1 + 1 + \frac{1}{{1 - 2}} = 1$. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).