Cho hàm số $f(x) = x^{2} + 2x$ và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa, tính chất và các công thức tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Đúng theo định nghĩa: $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)$.

b) Sai. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

$F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$. $F\left( 2 \right) = \frac{{23}}{3}$.

c) Đúng. $\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow k.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow k.\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = 2$

$\Leftrightarrow k.\frac{{20}}{3} = 2 \Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}$.

d) Sai. $\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = 2 + 2\ln 3$.

$\Rightarrow a = 2,\,b = 3\, \Rightarrow 3a - 5b = - 9$.