Cho hàm số f(x) = x

$f\left( 0 \right) = 0$ ; $f\left( \pi \right) = \pi$ . · Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{\pi }{6}$ hoặc $\frac{{5\pi }}{6}$ . · Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Phương pháp giải:

a) Thay 0, $\pi$ vào x rồi tính giá trị biểu thức.

b) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp lượng giác: (sinu)’ = u’.cosu.

c) Nếu $\cos \alpha = m$ thì $\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

Dựa vào khoảng hoặc đoạn đề bài cho, tìm các giá trị k thỏa mãn rồi thay vào công thức nghiệm và kết luận.

d) Thay giá trị hai đầu mút của đoạn và các giá trị sao cho f’(x) = 0 vào f(x) và tìm giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f\left( 0 \right) = 0 - \sin (2.0) = 0$ ;

$f\left( \pi \right) = \pi - \sin (2\pi ) = \pi$ .

b) Sai. f’(x) = 1 – 2cos2x.

c) Đúng. $1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$ .

+) $0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le k\pi \le \frac{{5\pi }}{6}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6} \Rightarrow k = 0$ (vì $k \in \mathbb{Z}$ ).

Suy ra $x = \frac{\pi }{6} + 0.\pi = \frac{\pi }{6}$ .

+) $0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le - \frac{\pi }{6} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} \le k\pi \le \frac{{7\pi }}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6} \Rightarrow k = 1$ (vì $k \in \mathbb{Z}$ ).

Suy ra $x = - \frac{\pi }{6} + 1.\pi = \frac{{5\pi }}{6}$ .

Vậy trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ thì f’(x) = 0 có hai nghiệm là $x = \frac{\pi }{6}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{6}$ .

d) Đúng. f(x) = x – sin2x;

f’(x) = 1 – 2cos2x có nghiệm $x = \frac{\pi }{6}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{6}$ thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ .

$f\left( 0 \right) = 0$ ; $f\left( \pi \right) = \pi$ ; $f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ; $f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .