Cho hàm số $f(x) = \log_{3}\left( {2x - 3} \right)$ .

Phương pháp giải:

a) ĐKXĐ của hàm số logarit $y = {\log _a}f(x)$: $f(x) \gt 0$.

b) Công thức đạo hàm của hàm số logarit: $\left[ {{{\log }_a}f(x)} \right]' = \frac{{f'(x)}}{{f(x)\ln a}}$.

c) Giải phương trình $f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)$, đối chiếu với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm.

d) Giải bất phương trình $f\left( x \right) \le 4$, tìm các phần tử thuộc S rồi áp dụng công thức ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}$ để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. ĐKXĐ: $2x - 3 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt \frac{3}{2}$. Vậy tập xác định của hàm số là $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

b) Đúng. $f'\left( x \right) = \frac{{(2x - 3)'}}{{(2x - 3)\ln 3}} = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}}$, $\forall x \in \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

c) Sai. $f(x) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - x - 1\\x \gt \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x \gt \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\\x \gt \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.

d) Sai. $f\left( x \right) \le 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \gt \frac{3}{2}\\2x - 3 \le {3^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} \lt x \le 42$.

Do đó S = {2; 3; …; 42}, gồm $\frac{{42 - 2}}{1} + 1 = 41$ phần tử.

Tổng các phần tử của S là: $2 + 3 + ... + 42 = \frac{{(2 + 42)}}{2}.41 = 902$.