Cho hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} + 5x

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}$ . · Biết $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n$ , với $m,n \in {\mathbb{N}^*}$ , $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, nguyên hàm, tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. $\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{7}{x}} \right)dx}$

$= \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C$ .

b) Đúng. $f'(x) = \frac{{\left( {{x^2} + 5x - 7} \right)'x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)x'}}{{{x^2}}}$

$= \frac{{\left( {2x + 5} \right)x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} + 5x - {x^2} - 5x + 7}}{{{x^2}}}$

$= \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g(x)$ .

Vì f’(x) = g(x) nên f(x) là một nguyên hàm của g(x).

c) Đúng. $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^{ - 1}}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right.$

$= \left[ {\frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} + 5( - 1) - 7\ln \left| { - 1} \right|} \right] - \left[ {\frac{{{{( - 2)}^2}}}{2} + 5( - 2) - 7\ln \left| { - 2} \right|} \right]$

$= - \frac{9}{2} - \left( { - 8 - 7\ln 2} \right) = \frac{7}{2} + 7\ln 2$ .

Vậy $m + 2025n = 7 + 2025.2 = 4057$ .

d) Sai. $G(x) = \int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C$ .

$G( - 6) - G( - 9) = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^{ - 6}}\\{_{ - 9}}\end{array}} \right. = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}$ ; $G(3) - G(1) = 14 - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = 14 - 7\ln 3$ .

Ta có $\left[ {G( - 6) - G( - 9)} \right] - \left[ {G(3) - G(1)} \right] = \left( { - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}} \right) - \left( {14 - 7\ln 3} \right)$

$\Leftrightarrow G( - 6) - \left[ {G( - 3) + G( - 9)} \right] + G(1) = - \frac{{43}}{2} - 7\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + 7\ln 3$

$\Leftrightarrow G( - 6) - 20 + 4 = - \frac{{43}}{2} - 7\ln 2 + 7\ln 3 + 7\ln 3$

$\Leftrightarrow G( - 6) = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}$ .

Vậy $a + b + c = - 7 + 14 - \frac{{11}}{2} = \frac{3}{2}$ .