Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có: ${\int{f(x)dx}} = {\int{\dfrac{2x + 1}{x}dx}}$

$\left. = {\int{\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)dx}} = 2x + \ln \middle| x \middle| + C \right.$.

b) Đúng. Trên $(0; + \infty)$, ta có $F(x) = 2x + \ln x + C$.

Mà $\left. F(1) = 3\Rightarrow 2 + \ln 1 + C = 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow C = 1\Rightarrow F(x) = 2x + \ln x + 1 \right.$.

c) Sai. ${\int f'}(2x)dx = \dfrac{1}{2}{\int f'}(2x)d(2x) = \dfrac{1}{2}f(2x) + C$

$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2.2x + 1}{2x} + C = \dfrac{4x + 1}{4x} + C \neq \dfrac{- 1}{4x} + C$.

d) Sai.

+) Do G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có:

$\left. G(x) = 2x + \ln \middle| x \middle| + C \right.$

$\left. \Rightarrow G(x) = \left\{ \begin{array}{l} {2x + \ln x + C_{1},x \gt 0} \\ {2x + \ln( - x) + C_{2},x \lt 0} \end{array} \right. \right.$.

+) Mà $G(2) = 1$ nên: $2.2 + \ln 2 + C_{1} = 1$

$\left. \Rightarrow C_{1} = - 3 - \ln 2\Rightarrow G(x) = \left\{ \begin{array}{l} {2x + \ln x - 3 - \ln 2,x \gt 0} \\ {2x + \ln( - x) + C_{2},x \lt 0} \end{array} \right. \right.$.

$\left. \Rightarrow G(5) = 10 + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2 \right.$.

+) Mặt khác: $G(5) + G( - 5) = 0$

$\left. \Rightarrow 7 + \ln 5 - \ln 2 + 2( - 5) + \ln 5 + C_{2} = 02 \right.$

$\left. \Rightarrow C_{2} = 3 - 2\ln 5 + \ln \right.$

$\left. \Rightarrow G(x) = \left\{ \begin{array}{l} {2x + \ln x - 3 - \ln 2,x \gt 0} \\ {2x + \ln( - x) + 3 - 2\ln 5 + \ln 2,x \lt 0} \end{array} \right. \right.$.

+) $G( - 10) = 2( - 10) + \ln 10 + 3 - 2\ln 5 + \ln 2$

$\left. = \ln 10 - 2\ln 5 + \ln 2 - 17\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = - 2} \\ {c = 1} \\ {d = - 17} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow a + b + c + d = - 17 \right.$.

Hoặc $G( - 10) = \ln 10 - 2\ln 5 + \ln 2 - 17$

$= \ln 5 + \ln 2 - 2\ln 5 + \ln 2 - 17$

$\left. = - \ln 5 + 2\ln 2 - 17\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 0} \\ {b = - 1} \\ {c = 2} \\ {d = - 17} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow a + b + c + d = - 16 \right.$.

Do đó giá trị biểu thức a + b + c + d có nhiều kết quả khác nhau.