Cho hàm số f(x) = 4sinx + 2x + 1.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số rồi nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $f(0) = 4\sin 0 + 2.0 + 1 = 1$; $f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 2.\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = - \pi - 3$.

b) Sai. f’(x) = 4cosx + 2.

c) Đúng. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Vì ta chỉ xét đoạn $[0;\pi ]$ nên:

+) Với $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ ta có:

$0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{1}{6}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0. Khi đó $x = \frac{{2\pi }}{3} + 0.2\pi = \frac{{2\pi }}{3}$.

+) Với $x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$ ta có:

$0 \le x \le \pi \Leftrightarrow 0 \le - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{6}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị k nào thỏa mãn.

Vậy trên đoạn $[0;\pi ]$, f’(x) = 0 chỉ có nghiệm duy nhất $x = \frac{{2\pi }}{3}$.

d) Sai. Xét hàm số f(x) trên $[0;\pi ]$.

$f(0) = 1$; $f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2\sqrt 3 + \frac{{4\pi }}{3} + 1$; $f(\pi ) = 2\pi + 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn $[0;\pi ]$ là $f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2\sqrt 3 + \frac{{4\pi }}{3} + 1$.