Cho hàm số $f(x) = 2x^{3}

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 bằng 2. · Hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G(x) = \dfrac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ . · F(x) là một nguyên hàm của hàm số đã cho thoả mãn F(2) = 2, khi đó $F( - 1) = \dfrac{1}{2}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm và tích phân của hàm số lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $S = {\int\limits_{0}^{2}{\left| {2x^{3} - 3x^{2} + 1} \right|dx}} = 2$ .

b) Đúng. ${\int{(2x^{3} - 3x^{2} + 1)dx}}$

$= 2.\dfrac{x^{4}}{4} - 3.\dfrac{x^{3}}{3} + x + C = \dfrac{x^{4}}{2} - x^{3} + x + C$ .

Vậy hàm số đã cho có một nguyên hàm là hàm số $G(x) = \dfrac{x^{4}}{2} - x^{3} + x$ .

c) Đúng. $\left. F(2) = 2\Leftrightarrow\dfrac{2^{4}}{2} - 2^{3} + 2 + C = 2\Leftrightarrow C = 0 \right.$ .

$F( - 1) = \dfrac{{( - 1)}^{4}}{2} - {( - 1)}^{3} + ( - 1) + 0 = \dfrac{1}{2}$ .

d) Sai. $H(a) = {\int\limits_{- 1}^{a}{(2x^{3} - 3x^{2} + 1)dx}}$

$= \dfrac{a^{4}}{2} - a^{3} + a - \left\lbrack {\dfrac{{( - 1)}^{4}}{2} - {( - 1)}^{3} + ( - 1)} \right\rbrack$

$= \dfrac{a^{4}}{2} - a^{3} + a - \dfrac{1}{2}$ .

$\left. H'(a) = 2a^{3} - 3a^{2} + 1 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a = - \dfrac{1}{2}} \\ {a = 1} \end{array} \right. \right.$

Ta có H(-1) = 0; $H\left( {- \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{27}{32}$ ; H(1) = 0, $H(2) = \dfrac{3}{2}$ .

Vậy H(a) đạt giá trị lớn nhất tại a = 2.