Cho hàm số có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$ với mọi $x \in…

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$

$={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-2 \right)$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right),\left( 2;+\infty \right)$.

b) Đúng. Ta có $y = f\left( {{x^2} - 6x + 1} \right)$

$\Rightarrow y' = {\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)^\prime }f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)$

$= \left( {2x - 4} \right)f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 4} \right)f'\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\{x^2} - 4x + 1 = 1\\{x^2} - 4x + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\\x = 4\\x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên $y=f\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)$:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)$ ta thấy hàm số có ba điểm cực tiểu.

c) Đúng. Theo bảng biến thiên ở câu a), hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = 1 và x = 2.

d) Sai. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {1;f(1)} \right)$.