Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B$ (H không là trung điểm của OB). Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ , kẻ $CK$ vuông góc với $AE$ tại $K$ . Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$ .

$AHCK$ là tứ giác nội tiếp. · $\widehat {KAC} = \widehat {EDC}$ . · $AH.AB = A{C^2}$ .

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm…

Phương pháp giải:

a) Chứng minh bốn điểm A, H, C, K thuộc cùng một đường tròn nên AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Dựa vào định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp.

c) Dựa vào kiến thức về góc nội tiếp: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

d) Sử dụng kiến thức về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Chứng minh $\Delta AHC\backsim \Delta ACB\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng

Xét tam giác ACK vuông tại K ( $CK \bot AE$ tại K) nên K thuộc đường tròn đường kính AC.

Xét tam giác ACH vuông tại H ( $CD \bot AB$ tại H) nên H thuộc đường tròn đường kính AC.

Do đó bốn điểm A, H, C, K thuộc đường tròn đường kính AC hay tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Sai

Vì tứ giác $AHCK$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {EAO} + \widehat {HCK} = 180^\circ$ (tính chất tứ giác nội tiếp) nên b sai.

c) Đúng

Ta có: $\widehat {EAC} = \widehat {EDC}$ (hai góc nội tiếp chắn cung EC) hay $\widehat {KAC} = \widehat {EDC}$ .

d) Đúng

Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ có $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\Delta ACB$ vuông tại C.

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {AHC} = \widehat {ACB}\left( { = 90^\circ } \right)$

Suy ra $\Delta AHC\backsim \Delta ACB\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $AH.AB = A{C^2}$

Đáp án ĐSĐĐ