Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,M$ là trung điểm của $AC.$ Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $C$ xuống đường…

Phương pháp giải:

- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên

- Sử dụng tính chất của trung điểm

- Chứng minh $\Delta ADM = \Delta CEM$ (ch - gn)

Lời giải chi tiết:

Vì $\Delta ABM$ vuông tại $A$ (gt) nên $BA \lt BM$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Mà $BM = BD + DM$ nên $BA \lt BD + DM\left( 1 \right)$ .

Mặt khác, $BM = BE - ME$ nên $BA \lt BE - ME\left( 2 \right)$

Cộng hai vế của $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta được: $2BA \lt BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)$

Vì $M$ là trung điểm của $AC$ (gt) nên $AM = MC$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác vuông $ADM$ và tam giác vuông $CEM$ có:

$AM = MC\left( {cmt} \right)$

$\widehat {AMD} = \widehat {EMC}$ (đối đỉnh)

nên $\Delta ADM = \Delta CEM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra $MD = ME\left( 4 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Từ $\left( 3 \right)$và $\left( 4 \right)$ suy ra $BD + BE \gt 2AB$