Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC.$ So sánh $AB + AC$ và $2AM.$

Phương pháp giải:

- Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết:

Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA.$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (gt) $\Rightarrow MB = MC$ (tính chất trung điểm)

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MNC$ có:

$MB = MC\left( {cmt} \right)$

$\widehat {AMB} = \widehat {NMC}$ (đối đỉnh)

$AM = MN\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta MAB = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right)$ $\Rightarrow NC = AB\left( 1 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ có: $AN \lt AC + CN\left( 2 \right)$ (bất đẳng thức tam giác)

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow AN \lt AC + AB$.

Mặt khác, $AN = 2AM\left( {gt} \right) \Rightarrow 2AM \lt AB + AC.$