Cho $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $BC$ . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng ?

Phương pháp giải:

- Nối đoạn thẳng AD.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác chứng minh: $AD \lt AC + CD$, $AD \lt AB + DB$. Từ đó lập luận suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nối đoạn thẳng AD.

Xét $\Delta ADC$ có: $AD \lt AC + CD$ (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét $\Delta ADB$ có: $AD \lt AB + DB$ (bất đẳng thức tam giác) (2)

Vì $D$ là trung điểm của $BC$ (gt) nên $D$ nằm giữa $B$ và $C$ ta có: $CD + DB = BC.$

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

$\begin{array}{l}AD + AD \lt AC + CD + AB + DB\\ \Rightarrow 2AD \lt AB + \left( {CD + DB} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AD \lt AB + BC + AC\\ \Rightarrow AD \lt \dfrac{{AB + BC + AC}}{2}\end{array}$

Do đó $AD$ nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác $ABC$.